Caracterización de las Matemáticas y sus Fundamentos

Aun cuando en cada civilización se han encontrado usos de algún conocimiento matemático y aplicaciones, es virtualmente imposible presentar una definición satisfactoria o una caracterización completa de lo que son las matemáticas. Esta dificultad, quizás, se relaciona con el crecimiento y extensión de esta disciplina. Davis & Hersh (1981) apuntaron que " la definición de las matemáticas cambia. Cada generación y cada matemático notable en esa generación formula una definición de acuerdo a sus luces" (p. 8). Al indicar la caracterización que se le puede dar a las matemáticas en diferentes épocas y reflexionar con su, enseñanza, Hersh (1979) señala la importancia de discutir aspectos de las matemáticas relacionados con su naturaleza.

El asunto entonces, no es, cual es el mejor camino para enseñar, sino lo que realmente es la matemática... controversias acerca de la enseñanza de la matemática a nivel medio superior no pueden ser resueltas sin confrontar problemas acerca de la naturaleza de las matemáticas" (citado en Lerman,1990,p.54).

El intento de caracterizar a las matemáticas se relaciona con la discusión de cuales son los fundamentos de esta disciplina. Reflexionar sobre los fundamentos implica abordar la controversia entre diversas escuelas de pensamiento. Por ejemplo, el punto de vista platónico asume que las entidades matemáticas son reales y que existen independientemente del sujeto.Estas entidades no son creadas y no cambian con el tiempo; cualquier indagación dentro de esta corriente posee una respuesta definitiva. dependiendo si el sujeto puede o no llevar a cabo esta insdagación. "De acuerdo con los platónicos, un matemático es un científico empírico similar a un geólogo; no puede inventar las cosas, porque las cosas existen de antemano. Lo más que puede hacer es descubrirlas" (Davis & Hersh,1981,p.319).

Otro punto de vista conocido como formalismo relaciona el desarrollo de las matemáticas con un conjunto de axiomas, definiciones, y teoremas. Aquí existen reglas que se usan para derivar y demostrar teoremas, proposiciones, y fórmulas. Aun cuando formalistas y platónicos tienen puntos de vista opuestos acerca de la existencia y realidad de las entidades matemáticas, estas coinciden en cuanto a los principios de razonamiento que son permisibles en la practica de las matemáticas.

Existe otro punto de vista " el constructivista" que afirma que las matemáticas pueden obtenerse solamente a través de una construcción finita.

Dossey (1992) argumenta que estas tres corrientes de pensamiento consideraban el contenido matemático como un producto. Con los logicistas los contenidos eran los elementos de una matem´patica clásica, sus definiciones, sus postulados, y sus teoremas. Para los constructivistas, los contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía patrones válidos de razonamiento. En los formalistas las matemáticas contenían estructuras axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus problemas.

El impacto de estas escuelas es resumido por Davis & Hersh (1981) como:

La mitad del siglo veinte, el formalismo llegó a ser la actitud filosófica predominante en los librosn de texto y programas oficiales de matemáticas. la corriente constructivista permaneció como una herejía con pocos partidarios. La escuela platónica fue y es compartida por casi todos los matemáticos. pero similar a una religión escondida,se practica en privado y raramente es mencionada en público (p.339).

Matemáticos como Hardy (1977-1947) opinaron que la elegancia y profundidad de las matemáticas son los principales criterios para desarrollar esta disciplina. En su libro "AMathematician Apology",Hardy expresó,

...jusgado por todos los estándares prácticos, el valor de mi vida matemática es nula; y fuera del campo de las matemáticas es trivial en cualquier forma... Y sobre la idea de que he creado algo, es realmente irrefutable: la cuestión es acerca de su valor (citado en Davis & Hersh, 1981,p.86).

Referencias bibliograficas

Davis P.J. & Hersh,R. (1981) The mathematical experience. Boston: Birkhauser.

Dossey,J.A. (1992) The nature of mathematics: Its role and its influence. In E. Grouws (ed), Handbook of research on the teaching and learning of mathematics.

Hardy,G. H. (1940). A mathematician´s apology. Cambridge: Cambridge University Press.

Lerman,S. (1990) Alternative perspective of the nature of mathematics and their influence on the teaching of mathematics. Britsh Educational Research Jornal, 16(1), PP 53-61.

Aspectos Generales relacionados con la naturaleza de las matemáticas

En los últimos 50 años las matemáticas han tenido un avance significativo tanto en su propio desarrollo como en sus aplicaciones; esto ha contribuido en la importancia de examinar la naturaleza y desarrollo de esta disciplina (Steen,1988,NCTM,1989,1990). Este interés ha identificado un amplio mosaico de concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas incluyendo aquellas que la relacionan con una estructura axiomática, con un conjunto de hurísticas para resolver problemas, o con un conjunto de fórmulas y reglas. Estas diversas concepciones poseen una influencia directa en la forma de enseñanza y el ti´po de investigaciones que se realizan en educación matemática. Romberg (1992) señala que ha habido cambios dramáticos en la disciplina matemática en el último cuarto de siglo. Nuevas tecnologías han puesto a la discusión la importancia de realizar manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel. Así, las matemáticas van más allá de manipulaciones ya que se conceptualizan como un medio para resolver problemas y donde la tecnología se considera como importante.

En la práctica de enseñar matemáticas generalmente el maestro adopta un modelo de enseñanza donde se reflejan elementos de su propia experiencia como estudiante. con este modelo se acompañan ideas respecto al papel del maestro, a los tipos de problemas de clase y de tarea, al tipo de evaluación, al uso de un libro de texto, y al papel del estudiante en el salón de clases. En realidad, cada profesor posee un modelo o una caracterización de lo que son las matemáticas y cómo éstas pueden ser aprendidas por los estudiantes. este modelo influye en las decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el contenido en el salón de clases. como consecuencia, es importante identificar algunas conceptualizaciones acerca de las matemáticas y su desarrollo, así como sus relaciones con la enseñanza. esta discusión permitirá ubicar las diversas propuestas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas y analizar algunas ventajas y limitaciones al ser consideradas en la práctica de la enseñanza.

Identificar a la resolución de problemas dentro de una propuesta para aprender matemáticas implica relacionar los aspectos asociados con la naturaleza misma de esta disciplina. es decir, es importante presentar las características de las matemáticas que son compatibles con las propuesta basada en la resolución de problemas. así, lo que se espera del estudiante, el tipo de problemas a considerar en las actividades de aprendizaje, y la forma de evaluación son algunos elementos que se sustentan en la naturaleza de las matemáticas. por lo tanto, en esta parte se intenta revisar ideas esenciales que caracterizan a las matemáticas y la forma de desarrollarse. se identifican diferentes puntos de vista acerca de la forma de hacer matemáticas y algunas relaciones con la propuesta de la resolución de problemas.

Referencias bibliograficas

Steen, L. (ed.) (1990). On the shoulder of giants. New approaches to numeracy.Washinton, D.C. : National Research Council.

Romberg, T.A. (1992). Further thougts on the standars: A reaction to Apple. Journal for research in mathematics education, 23(5).