martes, 1 de junio de 2010

Desarrollo del pensamiento matemático

¿Qué entendemos por pensamiento matemático?



En esta ocasión hablaremos, a un nivel introductorio, sobre el estudio de los procesos del pensamiento matemático que se producen en el curso de una relación didáctica, entre aquello que el profesor se propone enseñar en matemáticas y aquello que los estudiantes son susceptibles de aprender efectivamente. El objetivo es explorar el sentido que tiene el desarrollo del pensamiento matemático entre los estudiantes en el transcurso de la enseñanza, bajo la perspectiva teórica de Cantoral et.al. (2000).

Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la abstracción o, más ampliamente, de los procesos mentales, dirigimos nuestra mirada hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para los psicólogos las preguntas: ¿Cómo piensa la gente?, ¿Cómo se desarrollan los procesos del pensamiento?, o ¿ En qué medida la acción humana adquiere habilidad en la resolución de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia cotidiana. de manera que el pensamiento, como una de las funciones mentales superiores, se estudia sistematica y cotidianamente en diversos escenarios profesionales.

¿de qué podría tratar entonces el pensamiento matemático? Sabemos por ejemplo que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente y de cómo realizan diversas tareas y cómo se desempeñan en su actividad. de este modo, usaremos el término pensamiento matemático para referirnos a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente un contenido específico, en nuestro caso las matemáticas. se interesan por caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos propiamente matemáticos.

Este interés por estudiar la psicología del pensamiento matemático es relativamente nuevo, aunque podríamos decir que es, sobre todo, esperanzador, pues se abriga con ello la expectativa de que el desarrollo de este programa de investigación mejore significativamente los procesos educativos en matemáticas en los distintos niveles de los sistemas escolares contemporáneos.

Dado que la actividad humana involucra procdesos de razonamiento y factores de experiencia cuando se desempeña cualquier clase de funciones, nos interesa que al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente en el sentido de la actividad matemática como una forma especial de actividad humana. De modo que debemos interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, las escrituras, o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una tarea matemática, del mismo modo que nos ocupamos por decifrar los mecanismos mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formación de los pensamientos matemáticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta a una pregunta no corresponda con nuestro conocimiento, las razones por las que su pensamiento matemático opera como lo hace. De este modo habremos de explicar con base en modelos mentales y didácticos, las razones por las que persistentemente los alumnos de bachillerato o de secundaria consideran que 2 elevado al exponente cero, es igual a, cero, aunque su profesor le diga insistentemente que dos a la cero es igual a uno. en este sentido es que nos interesa analizar las ejecuciones de los alumnos ante tareas matemáticas, tanto simples como complejas, como formas de entender el proceso de construcción de los conceptos y procesos matemáticos; al mismo tiempo que sabremos que, en esa labor, su propio pensamiento metamático está, también, en pleno curso de constitución.

lunes, 19 de abril de 2010

Caracterización de las Matemáticas y sus Fundamentos

Aun cuando en cada civilización se han encontrado usos de algún conocimiento matemático y aplicaciones, es virtualmente imposible presentar una definición satisfactoria o una caracterización completa de lo que son las matemáticas. Esta dificultad, quizás, se relaciona con el crecimiento y extensión de esta disciplina. Davis & Hersh (1981) apuntaron que " la definición de las matemáticas cambia. Cada generación y cada matemático notable en esa generación formula una definición de acuerdo a sus luces" (p. 8). Al indicar la caracterización que se le puede dar a las matemáticas en diferentes épocas y reflexionar con su, enseñanza, Hersh (1979) señala la importancia de discutir aspectos de las matemáticas relacionados con su naturaleza.
El asunto entonces, no es, cual es el mejor camino para enseñar, sino lo que realmente es la matemática... controversias acerca de la enseñanza de la matemática a nivel medio superior no pueden ser resueltas sin confrontar problemas acerca de la naturaleza de las matemáticas" (citado en Lerman,1990,p.54).
El intento de caracterizar a las matemáticas se relaciona con la discusión de cuales son los fundamentos de esta disciplina. Reflexionar sobre los fundamentos implica abordar la controversia entre diversas escuelas de pensamiento. Por ejemplo, el punto de vista platónico asume que las entidades matemáticas son reales y que existen independientemente del sujeto.Estas entidades no son creadas y no cambian con el tiempo; cualquier indagación dentro de esta corriente posee una respuesta definitiva. dependiendo si el sujeto puede o no llevar a cabo esta insdagación. "De acuerdo con los platónicos, un matemático es un científico empírico similar a un geólogo; no puede inventar las cosas, porque las cosas existen de antemano. Lo más que puede hacer es descubrirlas" (Davis & Hersh,1981,p.319).
Otro punto de vista conocido como formalismo relaciona el desarrollo de las matemáticas con un conjunto de axiomas, definiciones, y teoremas. Aquí existen reglas que se usan para derivar y demostrar teoremas, proposiciones, y fórmulas. Aun cuando formalistas y platónicos tienen puntos de vista opuestos acerca de la existencia y realidad de las entidades matemáticas, estas coinciden en cuanto a los principios de razonamiento que son permisibles en la practica de las matemáticas.
Existe otro punto de vista " el constructivista" que afirma que las matemáticas pueden obtenerse solamente a través de una construcción finita.
Dossey (1992) argumenta que estas tres corrientes de pensamiento consideraban el contenido matemático como un producto. Con los logicistas los contenidos eran los elementos de una matem´patica clásica, sus definiciones, sus postulados, y sus teoremas. Para los constructivistas, los contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía patrones válidos de razonamiento. En los formalistas las matemáticas contenían estructuras axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus problemas.
El impacto de estas escuelas es resumido por Davis & Hersh (1981) como:
La mitad del siglo veinte, el formalismo llegó a ser la actitud filosófica predominante en los librosn de texto y programas oficiales de matemáticas. la corriente constructivista permaneció como una herejía con pocos partidarios. La escuela platónica fue y es compartida por casi todos los matemáticos. pero similar a una religión escondida,se practica en privado y raramente es mencionada en público (p.339).
Matemáticos como Hardy (1977-1947) opinaron que la elegancia y profundidad de las matemáticas son los principales criterios para desarrollar esta disciplina. En su libro "AMathematician Apology",Hardy expresó,
...jusgado por todos los estándares prácticos, el valor de mi vida matemática es nula; y fuera del campo de las matemáticas es trivial en cualquier forma... Y sobre la idea de que he creado algo, es realmente irrefutable: la cuestión es acerca de su valor (citado en Davis & Hersh, 1981,p.86).
Referencias bibliograficas
Davis P.J. & Hersh,R. (1981) The mathematical experience. Boston: Birkhauser.
Dossey,J.A. (1992) The nature of mathematics: Its role and its influence. In E. Grouws (ed), Handbook of research on the teaching and learning of mathematics.
Hardy,G. H. (1940). A mathematician´s apology. Cambridge: Cambridge University Press.
Lerman,S. (1990) Alternative perspective of the nature of mathematics and their influence on the teaching of mathematics. Britsh Educational Research Jornal, 16(1), PP 53-61.

lunes, 12 de abril de 2010

Aspectos Generales relacionados con la naturaleza de las matemáticas

En los últimos 50 años las matemáticas han tenido un avance significativo tanto en su propio desarrollo como en sus aplicaciones; esto ha contribuido en la importancia de examinar la naturaleza y desarrollo de esta disciplina (Steen,1988,NCTM,1989,1990). Este interés ha identificado un amplio mosaico de concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas incluyendo aquellas que la relacionan con una estructura axiomática, con un conjunto de hurísticas para resolver problemas, o con un conjunto de fórmulas y reglas. Estas diversas concepciones poseen una influencia directa en la forma de enseñanza y el ti´po de investigaciones que se realizan en educación matemática. Romberg (1992) señala que ha habido cambios dramáticos en la disciplina matemática en el último cuarto de siglo. Nuevas tecnologías han puesto a la discusión la importancia de realizar manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel. Así, las matemáticas van más allá de manipulaciones ya que se conceptualizan como un medio para resolver problemas y donde la tecnología se considera como importante.
En la práctica de enseñar matemáticas generalmente el maestro adopta un modelo de enseñanza donde se reflejan elementos de su propia experiencia como estudiante. con este modelo se acompañan ideas respecto al papel del maestro, a los tipos de problemas de clase y de tarea, al tipo de evaluación, al uso de un libro de texto, y al papel del estudiante en el salón de clases. En realidad, cada profesor posee un modelo o una caracterización de lo que son las matemáticas y cómo éstas pueden ser aprendidas por los estudiantes. este modelo influye en las decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el contenido en el salón de clases. como consecuencia, es importante identificar algunas conceptualizaciones acerca de las matemáticas y su desarrollo, así como sus relaciones con la enseñanza. esta discusión permitirá ubicar las diversas propuestas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas y analizar algunas ventajas y limitaciones al ser consideradas en la práctica de la enseñanza.
Identificar a la resolución de problemas dentro de una propuesta para aprender matemáticas implica relacionar los aspectos asociados con la naturaleza misma de esta disciplina. es decir, es importante presentar las características de las matemáticas que son compatibles con las propuesta basada en la resolución de problemas. así, lo que se espera del estudiante, el tipo de problemas a considerar en las actividades de aprendizaje, y la forma de evaluación son algunos elementos que se sustentan en la naturaleza de las matemáticas. por lo tanto, en esta parte se intenta revisar ideas esenciales que caracterizan a las matemáticas y la forma de desarrollarse. se identifican diferentes puntos de vista acerca de la forma de hacer matemáticas y algunas relaciones con la propuesta de la resolución de problemas.
Referencias bibliograficas
Steen, L. (ed.) (1990). On the shoulder of giants. New approaches to numeracy.Washinton, D.C. : National Research Council.
Romberg, T.A. (1992). Further thougts on the standars: A reaction to Apple. Journal for research in mathematics education, 23(5).

martes, 23 de marzo de 2010

La resolución de problemas: Elementos para una propuesta en el aprendizaje de las matemáticas

Por Luz Manuel Santos Trigo
DME CINVESTAV-IPN
Introducción.

En el estudio de las matemáticas el resolver problemas desempeña un papel muy importante. los estudiantes a todos los niveles se ven expuestos a una gran cantidad de problemas en contextos variados cuya solución involucran diversos contenidos matemáticos. Halamos (1980) menciona que en las matemáticas existen axiomas, principios, y métodos importantes;pero el resolver problemas es el corazón de esta disciplina. Kleiner (1986) afirma que el desarrollo de conceptos y teorías matemáticas se originan a partir de un esfuerzo por resolver un determinado problema. Diudonne establece que "la historia de las matemáticas muestra que los avances matemáticos casi siempre se originan en un esfuerzo por resolver un problema especifico" (citado en Kleiner,1986,p.31). Recientemente, el National Council of Teachers of Mathematics "NCTM" (1989,1991) identifica a la resolución de problemas como una de las metas mas importantes en el aprendizaje de las matemáticas. El reconocer que el resolver problemas es una actividad esencial en el desarrollo y aprendizaje de las matemáticas presenta la necesidad de discutir las ideas principales alrededor de esta actividad. ¿Qué es un problema?; ¿Qué es la resolución de problemas?; ¿Qué significa aprender matemáticas? y ¿Cuáles son las bases que sustentan la propuesta del aprendizaje de las metemáticas vía resolución de problemas? son algunas preguntas que serán tratadas en el desarrollo del presente trabajo. El objetivo es discutir los componentes importantes que aparecen en esta propuesta y sus relaciones con otras disciplinas;así como las diversas interpretaciones que se pueden generar al intentar llevar esta propuesta a la práctica. Aspectos relacionados con la naturaleza de las matemáticas sirven de marco para ubicar las diversas formas de concebir a las matemáticas y su relación con la enseñanza. además la discusión del papel del contexto en la trasferencia de estrategias se relaciona con la propuesta de la resolución de problemas y el desarrollo de la inteligencia. Estos son parte fundamental en el desarrollo del trabajo.
Referencias bibliograficas
Halamos, P.R. (1980). The heart of mathematics. American Mathematical Monthly,87,519-524.
Kleiner,I. (1986). Famous problems in mathematics: An outline of a course. For the Learning of
Mathematics, 6(1), 31-38.
National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for
school mathematics. reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Profesional standards fro teaching
mathematics: Working draft. Reston, VA:National Council of Teachers of Mathematics.